Der Pearson-Korrelationskoeffizient, auch Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient genannt, misst die Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei stetigen Variablen. Der Wert liegt immer zwischen -1 und +1. Ein Wert von +1 zeigt eine perfekte positive Beziehung an: Wenn die eine Variable steigt, steigt auch die andere proportional. Ein Wert von -1 kennzeichnet eine perfekte negative Beziehung, bei der ein Anstieg der einen Variablen mit einem Rückgang der anderen einhergeht. Ein Koeffizient von 0 bedeutet, dass zwischen den beiden Variablen kein linearer Zusammenhang besteht.
Der Koeffizient erfasst ausschließlich lineare Beziehungen. Sollten zwei Variablen eine nichtlineare Abhängigkeit haben, wird diese vom Pearson-Koeffizienten nicht erkannt, auch wenn eine starke Korrelation tatsächlich vorhanden ist. Aus diesem Grund ist es wichtig, die Daten zunächst grafisch zu visualisieren, um die Form des Zusammenhangs zu überprüfen.
Voraussetzungen für die Anwendung
Die Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten setzt mehrere Bedingungen voraus. Beide Variablen müssen auf metrischer Skala gemessen sein, also aus echten Zahlwerten bestehen. Eine zweite Voraussetzung ist die Normalverteilung beider Variablen. Zusätzlich muss ein linearer Zusammenhang zwischen den Variablen plausibel sein. Auch sollten keine Ausreißer in den Daten vorhanden sein, da diese den Koeffizienten erheblich verzerren können.
Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, können alternative Verfahren wie der Spearman-Korrelationskoeffizient sinnvoller sein, der mit ordinalskalierten Daten arbeitet und weniger empfindlich gegenüber Ausreißern ist.
Die Formel des Pearson-Korrelationskoeffizienten
Die Berechnung basiert auf einer mathematischen Formel, die die gemeinsame Variabilität beider Variablen berücksichtigt. Die gebräuchlichste Variante für die praktische Berechnung lautet:
r = (n∑XY – ∑X∑Y) / √[(n∑X² – (∑X)²)(n∑Y² – (∑Y)²)]
Hierbei steht n für die Anzahl der Beobachtungen, X und Y für die beiden Variablen, ∑XY für die Summe der Produkte aller Wertepaare und ∑X∑Y für das Produkt der Summen. Im Zähler wird der Unterschied zwischen der Summe der Produkte und dem Produkt der Summen berechnet. Der Nenner normalisiert diesen Wert, indem er die Streuungen beider Variablen berücksichtigt.
Eine alternative Formulierung arbeitet mit der Kovarianz und den Standardabweichungen: r = Kovarianz / (Standardabweichung_X × Standardabweichung_Y). Diese Darstellung zeigt, dass der Pearson-Koeffizient die normierte Kovarianz darstellt und invariant gegenüber linearen Transformationen der Daten ist.
Schritt-für-Schritt-Berechnung mit einem konkreten Beispiel
Nehmen wir an, wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Aggressivität und Intelligenzquotient bei 14 Schülern. Als erstes organisieren wir die Rohdaten in zwei Spalten. Für unser Beispiel ergeben sich folgende Summen: Σx = 344 und Σy = 1549.
Im nächsten Schritt berechnen wir die Mittelwerte: x̄ = 344 / 14 ≈ 24,6 und ȳ = 1549 / 14 ≈ 110,5.
Danach bestimmen wir für jeden Datenpunkt die Abweichung vom Mittelwert. Für Aggressivität lautet dies (x – x̄), für den IQ entsprechend (y – ȳ). Diese Abweichungen quadrieren wir anschließend einzeln.
Die Summe der quadrierten Abweichungen bei Aggressivität ergibt SSx = 207,44, bei IQ erhalten wir SSy = 2073,24. Zusätzlich multiplizieren wir die Abweichungen jedes Wertepaares miteinander und summieren diese Produkte auf: SP = -276,16.
Mit diesen Werten setzen wir in die vereinfachte Formel ein: r = SP / √(SSx · SSy) = -276,16 / √(207,44 · 2073,24) ≈ -0,46.
Das Ergebnis von etwa -0,46 deutet auf eine schwache negative Korrelation hin. Das bedeutet, dass Schüler mit höherer Aggressivität tendenziell einen etwas niedrigeren IQ aufweisen, die Beziehung ist aber nicht stark.
Interpretation der Ergebnisse
Der Betrag des Korrelationskoeffizienten bestimmt die Stärke des Zusammenhangs. Ein Wert sehr nahe bei 0 bedeutet praktisch keine lineare Abhängigkeit. Liegt der Betrag zwischen 0,1 und 0,4, handelt es sich um eine schwache Korrelation. Werte zwischen 0,4 und 0,7 deuten auf eine mittlere Stärke hin. Liegt der Betrag über 0,7, sprechen wir von einer starken Korrelation. Der maximale Betrag von 1 entspricht einem funktionalen Zusammenhang.
Das Vorzeichen gibt die Richtung an. Positive Werte zeigen, dass beide Variablen in dieselbe Richtung tendieren: Steigt die eine, steigt auch die andere. Negative Werte signalisieren einen gegensätzlichen Verlauf. Beispielsweise fand sich bei einer Analyse von Werbeausgaben und Verkäufen eine schwache Korrelation von 0,32, während die Saisonalität eine stärkere Korrelation von 0,78 aufwies und der Wettbewerb mit -0,65 negativ korrelierte. Nach Anpassung des Budgets basierend auf diesen Erkenntnissen stiegen die Verkäufe um 23 Prozent.
Signifikanztestung des Korrelationskoeffizienten
Ein berechneter Korrelationswert ist nicht automatisch statistisch signifikant. Besonders bei kleinen Stichprobenumfängen kann ein moderater Koeffizient einfach zufällig entstanden sein. Um zu überprüfen, ob der gefundene Zusammenhang über den Zufall hinausgeht, führen wir einen Signifikanztest durch.
Dafür verwenden wir eine t-Statistik mit n-2 Freiheitsgraden unter der Annahme bivariater Normalverteilung. Diesen berechneten t-Wert vergleichen wir mit kritischen Werten aus Tabellen. Bei einer Untersuchung mit 20 Schülern (18 Freiheitsgrade) liegen die kritischen Werte bei 0,44 für p ≤ 0,05 und 0,56 für p ≤ 0,01. Wenn der berechnete Koeffizient über dem kritischen Wert liegt, ist die Korrelation auf dem entsprechenden Signifikanzniveau signifikant.
In einer konkreten Studie zu Bearbeitungszeiten bildlicher und verbaler Aufgaben ergab sich ein Koeffizient von 0,61. Dieser Wert liegt oberhalb des kritischen Wertes von 0,56, sodass die positive Korrelation auf dem 1-Prozent-Niveau signifikant ist.
Pearson-Korrelationskoeffizient mit Tabellenkalkulationsprogrammen berechnen
Die praktische Berechnung in Tabellenkalkulationsprogrammen vereinfacht sich erheblich durch die eingebaute KORREL-Funktion. Der Prozess läuft in drei einfachen Schritten ab.
Zuerst organisieren Sie Ihre Daten in zwei Spalten. Angenommen, die erste Variable steht in Spalte A von Zeile 2 bis 21, die zweite Variable in Spalte B mit denselben Zeilennummern.
Als nächstes klicken Sie in eine leere Zelle und geben folgende Formel ein: =KORREL(A2:A21;B2:B21). Achten Sie darauf, dass Sie in Ihrer Tabellenkalkulationsversion Semikolons (;) als Trennzeichen verwenden, falls Sie mit deutscher Spracheinstellung arbeiten. In englischsprachigen Versionen nutzen Sie einen Doppelpunkt (:) oder ein Komma.
Nach Drücken der Enter-Taste gibt Ihnen das Programm sofort den Korrelationskoeffizienten aus. Dies erspart Ihnen die manuelle Berechnung mit der komplexen Formel und minimiert Rechenfehler.
Möchten Sie mehrere Korrelationen gleichzeitig berechnen, können Sie auch die KORREL-Funktion in einer Korrelationsmatrix verwenden. Dafür erstellen Sie eine Tabelle, bei der Zeilen und Spalten Ihre Variablen repräsentieren, und füllen die Zellen mit entsprechenden KORREL-Funktionen.
Praktische Anwendungsbeispiele
In der Psychologie verwendet man den Pearson-Koeffizienten häufig, um Zusammenhänge zwischen Persönlichkeitseigenschaften und Verhaltensweisen zu untersuchen. Ein Forscher könnte beispielsweise prüfen, ob ein höherer Extroversionsgrad mit mehr sozialen Kontakten korreliert.
In der Betriebswirtschaft dient der Koeffizient zur Analyse von Geschäftskennzahlen. Unternehmen untersuchen oft, ob Investitionen in Kundenservice mit Kundenzufriedenheit korrelieren oder wie stark Marketing-Budget und Verkaufserlöse zusammenhängen.
Im Gesundheitswesen nutzen Epidemiologen den Koeffizienten, um vorläufige Beziehungen zwischen Risikofaktoren und Erkrankungen zu identifizieren. Eine höhere Salzaufnahme könnte mit Blutdruck korrelieren, oder Bewegungsmangel mit Übergewicht.
In der Finanzwirtschaft wird der Koeffizient zur Portfolioanalyse genutzt. Anleger untersuchen, wie stark die Renditen verschiedener Wertpapiere miteinander korrelieren, um ihr Portfolio zu diversifizieren.
Grenzen und häufige Fehler
Ein weit verbreitetes Missverständnis ist die Verwechslung von Korrelation mit Kausalität. Wenn zwei Variablen stark korrelieren, bedeutet das nicht, dass die eine die andere verursacht. Eine hohe Korrelation zwischen Eisverkäufen und Ertränkungsfällen im Sommer erklärt sich dadurch, dass beide Faktoren von der Temperatur beeinflusst werden.
Ein zweiter Fehler ist die Ignoranz gegenüber Ausreißern. Ein einzelner extremer Datenpunkt kann den Korrelationskoeffizienten erheblich verzerren. Vor der Berechnung sollten solche Punkte überprüft und gegebenenfalls untersucht werden.
Manche Anwender berechnen den Koeffizienten für Daten, die die Voraussetzungen nicht erfüllen. Werden die Annahmen verletzt, besonders die Normalverteilung, sind alternative Verfahren angebracht.
Die Verwechslung von mathematischer und praktischer Signifikanz ist ebenfalls häufig. Ein statistisch signifikantes Ergebnis (besonders bei großen Stichproben) kann praktisch sehr schwach sein, wenn der Koeffizient beispielsweise nur 0,15 beträgt.
Zusammenfassung der Berechnungsschritte
Die Ermittlung des Pearson-Korrelationskoeffizienten lässt sich zusammenfassend in folgende Punkte gliedern. Zunächst erfassen Sie die Rohdaten für beide Variablen und überprüfen deren Verteilungen grafisch. Dann berechnen Sie Mittelwerte und Abweichungen oder nutzen direkt die Formel mit den Summen. Im Falle manueller Berechnung quadrieren Sie die Abweichungen, multiplizieren gepaarte Abweichungen und summieren diese auf. Abschließend dividieren Sie die Summe der Produkte durch die Quadratwurzel des Produkts der Summen der Quadrate.
Für praktische Zwecke bietet die KORREL-Funktion in Tabellenkalkulationsprogrammen die schnellste und zuverlässigste Lösung. Nach der Berechnung prüfen Sie, ob das Ergebnis statistisch signifikant ist, und interpretieren Sie den Wert im Kontext Ihrer Fragestellung sowie der vorliegenden Daten.
